Жорданова нормальная форма

1. Теорема о существовании и единственности жордановой нормальной формы для матриц и линейных операторов.
     Пусть - алгебраически замкнутое поле, L - конечномерное линейное пространство над , - линейный оператор. Тогда:

а) Для оператора f существует жорданов базис, т. е. его матрица A в некотором базисе может быть приведена заменой базиса X к жордановой форме: X ^-1AX = J.

б) Матрица J определена однозначно с точностью до перестановки входящих в нее жордановых клеток.

2. Доказательство теоремы разбивается на ряд промежуточных шагов. Начнем с конструкции прямого разложения , где L_i - инвариантные подпространства для f, которые впоследствии будут отвечать набору жордановых клеток для f с одним и тем же числом на диагонали. Чтобы инвариантно охарактеризовать эти подпространства, вспомним, что . Оператор, некоторая степень которого равна нулю, принято называть нильпотентным. Итак, на подпространстве, отвечающем клетке , оператор нильпотентен; то же верно для его ограничения на сумму подпространств с фиксированным . Это мотивирует следующее определение.

3. Определение. Вектор называется корневым вектором оператора f, отвечающим , если существует такое r, что (здесь обозначает оператор ).

Очевидно, все собственные векторы корневые.

4. Предложение. Обозначим через множество корневых векторов оператора f в L, отвечающих . Тогда - линейное подпространство в L и тогда и только тогда, когда - собственное значение для f.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-