Теперь фиксируем одно собственное значение и докажем, что ограничение f на обладает жордановым базисом, отвечающим этому . Чтобы не вводить новых обозначений, будем до конца п. 7 считать, что f имеет единственное собственное значение и . Более того, мы можем считать даже, что , потому что любой жорданов базис для оператора f является одновременно жордановым базисом для оператора , где - любая константа. Тогда оператор f нильпотентен по теореме Гамильтона-Кэли: P(t) = tⁿ, fⁿ = 0, и докажем следующий факт:

7. Предложение. Нильпотентный оператор f на конечномерном пространстве L имеет жорданов базис; матрица оператора f в этом базисе является объединением клеток вида J_r(0).

Доказательство. Если у нас уже есть жорданов базис в пространстве L, удобно поставить ему в соответствие диаграмму

D, подобную изображенной здесь. В этой диаграмме точки изображают элементы базиса, а стрелки описывают действие f (в общем случае действие ). Элементы нижней строки оператор f переводит в нуль, т. е. в ней стоят собственные векторы оператора f, входящие в базис.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-