Значит, для любого вектора . Следовательно,

т. к. переводит в нуль любой вектор из L₁. Это завершает доказательство.

13. Примеры. а) Пусть f = id_L, dim L = n. Тогда характеристический многочлен f равен (t - 1)ⁿ, а минимальный многочлен равен t - 1, так что они не совпадают при n > 1.

б) Пусть f представлен жордановой клеткой . Характеристический многочлен оператора f равен . Чтобы вычислить минимальный многочлен, заметим, что .

Далее,

где единицы стоят на k-й диагонали выше главной; J_r(0)^k = 0 при . С другой стороны,

при , а поскольку минимальный многочлен - делитель характеристического, это доказывает, что они совпадают.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-