б) Пусть - корень P(t). Тогда отображение - f представлено вырожденной матрицей и, значит, имеет нетривиальное ядро. Пусть - элемент из ядра; тогда , так что есть собственное значение для f, а l - соответствующий собственный вектор. Наоборот, если , то l лежит в ядре - f, так что .

7. Теперь мы видим, что оператор f вообще не имеет собственных значений и тем более не диагонализируем, если его характеристический многочлен P(t) не имеет корней в поле . Это вполне может случиться над алгебраически не замкнутыми полями такими, как R и конечные поля. Например, пусть - матрица с вещественными элементами. Тогда

det(tE - A) = t² - (a + d)t + (ad - bc),

и если (a + d)² - 4(ad - bc) = (a - d)² + 4bc < 0, то A недиагонализируема.

Таким образом, мы впервые столкнулись здесь со случаем, когда свойства линейных отображений существенно зависят от свойств поля.

Чтобы не принимать последние во внимание как можно дольше, в следующем параграфе до п. 9 мы будем предполагать, что поле является алгебраически замкнутым. Если вы не знакомы с другими алгебраически замкнутыми полями, кроме C, можете всюду считать, что = C. Алгебраическая замкнутость равносильна любому из двух условий: а) любой многочлен от одной переменной P(t) с коэффициентами в имеет корень ; б) любой такой многочлен P(t) может быть представлен в виде , где при ; это представление однозначно, если . В этом случае число r_i называется кратностью корня многочлена P(t). Множество всех корней характеристического многочлена называется спектром оператора f. Если все кратности равны 1, говорят, что f имеет простой спектр.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-