Структура линейного отображения

1. Задача: возможно яснее геометрически представить себе устройство линейного отображения . Ответ совсем прост, когда L и M никак не связаны друг с другом: он дается теоремой из п. 2 этого параграфа. Гораздо интереснее и многообразнее получается картина, когда M = L (этот и следующий параграфы) и M = L^* (следующая часть). На матричном языке речь идет о приведении матрицы f к возможно более простой форме с помощью подходящего, специально приспособленного к структуре f, базиса. В первом случае базисы в L и M можно выбирать независимо, во втором речь идет об одном базисе L или о базисе в L и двойственном к нему базисе L^*: меньшая свобода выбора приводит к большему разнообразию ответов.

На языке параграфа Подпространства и прямые суммы нашу задачу можно переформулировать следующим образом. Построим внешнюю прямую сумму пространтств и поставим в соответствие отображению f его график Г_f: множество всех векторов вида . Легко убедиться, что Г_f есть линейное подпространство в . Нас интересуют инварианты расположения Г_f в . Для случая, когда базисы в L и M можно выбирать независимо, ответ дается следующей теоремой.

2. Теорема. Пусть - линейное отображение конечномерных пространств. Справедливы следующие утверждения:

а) Существуют такие прямые разложения , что Ker f = L₀ и f индуцирует изоморфизм L₁ с M₁.

б) Существуют такие базисы в L и M, что матрица f в этих базисах имеет вид (a_ij), где a_ii = 1 для и a_ij = 0 для остальных i, j.

в) Пусть A - некоторая матрица размера . Тогда существуют такие невырожденные квадратные матрицы B и C размеров и и такое число , что матрица BAC имеет вид, описанный в предыдущем пункте. Число r определено однозначно и равно рангу A.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-