Согласно определению п. 3, диагонализируемые операторы f допускают разложение L в прямую сумму своих собственных подпространств. Выясним, когда у f имеется хотя бы одно собственное подпространство.

5. Определение. Пусть L - конечномерное линейное пространство, - линейный оператор, A - его матрица в каком-нибудь базисе. Обозначим через P(t) и назовем характеристическим многочленом оператора f, а также матрицы A, многочлен det(tE - A) с коэффициентами в поле (det - определитель).

6. Теорема. а) Характеристический многочлен линейного оператора f не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица.

б) Любое собственное значение оператора является корнем P(t) и любой корень P(t), лежащий в , является собственным значением для f, отвечающим некоторому (не обязательно единственному) собственному подпространству в L.

Доказательство. а) Согласно п. 7 матрица оператора f в другом базисе имеет вид B^-1AB. Поэтому, пользуясь мультипликативностью определителя, находим

det(tE - B ^-1AB) = det(B ^-1(tE - A)B) =

= (det B) ^-1det(tE - A)det B = det(tE - A).

Заметим, что (обозначения из п. 8)

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-