Если поле алгебраически замкнуто, то согласно теореме п. 6 любой линейный оператор имеет собственное подпространство. Однако он все равно может оказаться недиагонализируемым, т. к. сумма всех собственных подпространств может оказаться меньше L, тогда как у диагонализируемого оператора она всегда равна L. Прежде чем переходить к общему случаю, разберемся с комплексными -матрицами.

8. Пример. Пусть L - двумерное комплексное пространство с базисом, оператор представлен в этом базисе матрицей . Характеристический многочлен для f равен t² - (a + d)t + (ad - bc), его корни . Рассмотрим отдельно следующие случаи:

а) . Пусть e₁ - собственный вектор для , e₂ - для . Они линейно независимы, потому что если ae₁ + be₂ = 0, то

откуда , т. е. b = 0 и аналогично a = 0. Следовательно, в базисе {e₁, e₂ матрица f диагональна.

б) . Здесь оператор f диагонализируем, только если он умножает на все векторы из L: это значит, что , т. е. . Если же эти условия не выполнены, а выполнено только более слабое условие (a - d)² + 4bc = 0, гарантирующее, что = , то у оператора f может быть, с точностью до пропорциональности, только один собственный вектор и f заведомо не диагонализируем.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-