10. Пример. Пусть - линейное пространство комплексных функций вида , где пробегает многочлены степени . Поскольку , дифференцирование является линейным оператором на этом пространстве. Положим (напомним, что 0! = 1), i = 0, ..., n - 1. Очевидно,

(первое слагаемое отсутствует при i = 0). Следовательно,

Таким образом, функции образуют жорданов базис для оператора в нашем пространстве.

11. Кроме уже рассмотренных геометрических соображений для нужд следующего параграфа нам понадобятся алгебраические сведения о полиномиальных функциях от оператора. Пусть - фиксированный оператор.

а) Для любого многочлена с коэффициентами из поля выражение имеет смысл в кольце эндоморфизмов пространства L; мы будем обозначать его Q(f).

б) Будем говорить, что многочлен Q(t) аннулирует оператор f, если Q(f) = 0. Ненулевые многочлены, аннулирующие f, существуют всегда, если L конечномерно. В самом деле, если dim L = n, то и операторы линейно зависимы над . Это рассуждение показывает, что имеется аннулирующий f многочлен степени . На самом деле теорема Гамильтона - Кэли, которая будет доказана далее, устанавливает существование аннулирующего многочлена степени n.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-