Доказательство. а) Положим L₀ = Ker f, а в качестве L₁ выберем прямое дополнение к L₀: это возможно в силу п. 10. Затем положим M₁ = Im f, а в качестве M₂ выберем прямое дополнение к M₁. Нужно лишь проверить, что f определяет изоморфизм L₁ с M₁. Отображение инъективно, потому что ядро f, т. е. L₀, пересекается с L₁ лишь по нулю. Оно сюръективно, потому что если , то f(l) = f(l₁).

б) Положим r = dim L₁ = dim M₁ и выберем в L базис {e₁, ..., e_r, e_r+1, ..., e_n, где первые r векторов образуют базис L₁, а следующие - базис L₀. Далее, векторы , , образуют базис в M₁ = Im f. Дополним его до базиса M векторами . Очевидно,

так что матрица f в этих базисах имеет требуемый вид.

в) Построим по матрице A линейное отображение f координатных пространств с этой матрицей, затем применим к нему утверждение б). В новых базисах матрица f будет иметь требуемый вид и выражаться через A в виде BAC, где B, C - матрицы перехода: см п. 7. Наконец, rk A = rk BAC = rk f = dim Im f. Это завершает доказательство.

Перейдем теперь к изучению линейных операторов. Начнем с введения простейшего класса: диагонализируемых операторов.

Назовем в общем случае подпространство инвариантным относительно оператора f, если .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-