Будем говорить, что базисы {e_i, одинаково ориентированы, если определитель матрицы перехода от одного из них к другому положителен. Ясно, что множество упорядоченных базисов L разбивается в точности на два класса, состоящих из одинаково ориентированных базисов, тогда как базисы из разных классов ориентированы по-разному (или противоположно).

Выбор одного из этих классов называется ориентацией пространства L.

Ориентация одномерного пространства соответствует указанию "положительного направления в нем" или полупрямой R_+e = {ae | a > 0, где e - любой вектор, определяющий ориентацию.

В двумерном пространстве задание ориентации с помощью базиса {e₁, e₂ можно представлять себе как указание "положительного направления вращения" плоскости от e₁ к e₂. Это интуитивно согласуется с тем, что базис {e₂, e₁ задает противоположную ориентацию (определитель матрицы перехода равен -1) и противоположное направление вращения.

В общем случае переход от базиса {e_i к базису , состоящему из тех же векторов, но в другом порядке, сохраняет ориентацию, если перестановка четная, и меняет ее, если перестановка нечетная. Замена знака у одного из векторов e_i меняет ориентацию на противоположную.

В трехмерном физическом пространстве выбор конкретной ориентации может быть связан с физиологическими особенностями человека - асимметрией правой и левой стороны. Левая сторона - это та, где у подавляющего большинства людей находится сердце. Большой, указательный и средний пальцы левой руки, согнутые по направлению к ладони, в линейно зависимом положении образуют упорядоченный базис, фиксирующий ориентацию ("правило левой руки"). Вопрос о том, существуют ли чисто физические процессы, позволяющие выбрать ориентацию пространства, т. е. "неинвариантные относительно зеркального отражения", был решен около двадцати лет назад положительно, ко всеобщему изумлению, экспериментом, установившим несохранение четности в слабых взаимодействиях.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-