Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
• Линейные пространства и линейные отображения
• Геометрия пространств со скалярным произведением
• Аффинная и проективная геометрия
|
Линейные пространства и линейные отображения / Подпространства и прямые суммы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Докажем, что семейство dim(L1 + L2) = p + n - m = dim L1 + dim L2 - dim Поскольку каждый вектор из L1 + L2 есть сумма векторов из L1 и L2, т. е. сумма линейных комбинаций Предположим, что существует нетривиальная линейная зависимость
Тогда обязательно должны существовать индексы j и k, для которых Следовательно, ненулевой вектор |
составляет базис пространства L1 + L2. Отсюда будет следовать утверждение теоремы:
.
и 
, объединение этих семейств порождает L1 + L2. Поэтому остается лишь проверить его линейную независимость.
и 
: в противном случае мы бы получили нетривиальную линейную зависимость между элементами базиса L1 или L2.
должен лежать также в L1, либо он равен - 
. Значит он лежит в 
, что противоречит их определению. Теорема доказана.