2. Определение. Пусть - линейные подпространства в L. Их суммой называется множество

Легко убедиться, что сумма также является линейным подпространством и что эта операция сложения ассоциативна и коммутативна, так же как и операция пересечения линейных подпространств. Другое описание суммы L₁ + ... + L_n состоит в том, что это наименьшее подпространство в L, содержащее все L_i.

Следующая теорема связывает размерности суммы двух подпространств и их пересечения:

3. Теорема. Если конечномерны, то и L₁ + L₂ конечномерны и

dim() + dim(L₁ + L₂) = dim L₁ + dim L₂.

Доказательство. L₁ + L₂ является линейной оболочкой объединения базисов L₁ и L₂ и потому конечномерно; содержится в конечномерных пространствах L₁ и L₂.

Положим m = dim , n = dim L₁, p = dim L₂. Выберем базис {e₁, ..., e_m пространства , его можно дополнить до базисов пространств L₁ и L₂: пусть это будет и . Назовем такую пару базисов в L₁ и L₂ согласованной.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-