7. Определение. Пространство L является прямой суммой своих подространств L₁, ..., L_n, если каждый вектор однозначно представляется в виде , где .

Когда условия определения выполнены, мы пишем , или . Например, если {e₁, ..., e_n - базис L, а - линейная оболочка вектора e_i, то . Очевидно, если , то ; последнее условие является более слабым.

8. Теорема. Пусть - подпространства в L. L_i тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:

а) и для всех ;

б) и (здесь предполагается, что L конечномерно).

Доказательство.

а) Однозначность представления любого вектора в виде , равносильна однозначности такого представления для нулевого вектора. В самом деле, если , то , и наоборот. Если имеется нетривиальное представление , в котором, скажем, , то , так что условие а) нарушено. Обращая это рассуждение, получаем, что из нарушения условия а) следует неоднозначность представления нуля.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-