12. Внешние прямые суммы. Пусть теперь L₁, ..., L_n - пространства, не вложенные заранее в общее пространство. Определим их внешнюю прямую сумму L следующим образом:

а) L как множество есть , т. е. элементы L суть семейства (l₁, ..., l_n), где .

б) Сложение и умножение на скаляр производятся покоординатно:

Нетрудно проверить, что L удовлетворяет аксиомам линейного пространства. Отображение , f_i(l) = (0, ..., 0, l, 0, ..., 0) (l на i-м месте) является линейным вложением L_i в L, и из определений немедленно следует, что . Отождествив L_i с f_i(L_i), получим линейное пространство, в котором L_i содержатся и которое разлагается в прямую сумму L_i. Это оправдывает название внешней прямой суммы. Часто удобно обозначать внешнюю прямую сумму также .

13. Прямые суммы линейных отображений. Пусть , - такое линейное отображение, что . Обозначим через f_i индуцированное линейное отображение . В таком случае принято писать . Аналогично определяется внешняя прямая сумма линейных отображений. Выбрав в L и M базисы, являющиеся объединением базисов L_i и M_i соответственно, мы получаем, что матрица f является объединением стоящих по диагонали блоков, которые представляют собой матрицы отображений f_i; на остальных местах стоят нули.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-