б) Покажем, что в матричной реализации функция det l представляет собой квадратичную форму, поляризация которой имеет вид

явно симметричный и билинейный. В самом деле, если - собственные значения l, то , так что

Теперь очевидно, что является ортонормированным базисом с матрицей Грама diag(1, -1, -1, -1), так что сигнатура нашей метрики равна (1, 3). Это завершает доказательство.

4. Следствие. Пусть - времениподобная прямая. Тогда с метрикой - (l, m) является трехмерным евклидовым пространством, и .

Доказательство. Утверждение следует из предложения п. 2, т. к. времениподобные прямые, очевидно, невырождены. Так как сигнатура метрики Минковского на есть (1, 3), а на - (1, 0), на она должна быть (0, 3), что завершает доказательство.

Перейдем теперь к изучению геометрического смысла скалярных произведений. Неопределенность метрики Минковского приводит к замечательным отличиям от евклидовой ситуации, которые имеют важный физический смысл. Самые яркие факты связаны с тем, что неравенство Коши-Буняковского-Шварца для времениподобных векторов оказывается обращенным в другую сторону.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-