Далее, в качестве f_t(e₁, e₂, e₃) выберем ортонормированный базис в , получающийся из проекции {e₁, e₂, e₃ на процессом ортогонализации Грама-Шмидта; очевидно, он непрерывно зависит от t. Ясно, что , а {f₁(e₁), f₁(e₂), f₁(e₃) и суть одинаково ориентированные ортонормированные базисы в . Их можно перевести друг в друга непрерывным семейством чисто евклидовых вращений , оставляющих неподвижным. Это завершает доказательство.

Обозначим через группу Лоренца, т. е. группу изометрий пространства , или О(1, 3). Пусть далее - подгруппа , сохраняющая ориентацию некоторого ортонормированного базиса; - подмножество , меняющее его пространственную, но не временную ориентацию; - подмножество , меняющее его временную, но не пространственную ориентацию; - подмножество , меняющее его временную и пространственную ориентации. Нетрудно убедиться, что от выбора исходного базиса эти подмножества не зависят. Мы доказали следующий результат:

11. Теорема. Группа Лоренца состоит из четырех связных компонент: .

Тождественное отображение лежит, очевидно, в . Аналогом теоремы п. 12 является следующий результат.

12. Теорема. Реализуем как пространство матриц Грама эрмитовых метрик в в базисе {h₁, h₂. Для любой матрицы поставим в соответствие матрице новую матрицу

Отображение s определяет сюръективный гомоморфизм SL(2, C) на с ядром .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-