10. Четыре ориентации пространства Минковского. Пусть , i = 0, ..., 3, - два ортонормированных базиса в при i = 1, ..., 3. По аналогии с прежними определениями назовем их одинаково ориентированными, если один переводится в другой непрерывной системой изометрий . Два условия одинаковой ориентированности, очевидно, необходимы:

а) . Действительно, по предложению п. 5, так что знак (e₀, f_t(e₀)) не может меняться при изменении t, а (e₀, f₀(e₀)) = 1. Выше мы назвали e₀ и с таким свойством одинаково временно ориентированными.

б) Определитель отображения ортогональной проекции , записанного в базисах {e_i или , положителен.

Действительно, проекция невырождена ни при каком значении t: иначе пространственноподобный вектор из был бы ортогонален , т. е. пропорционален - времениподобному вектору; это невозможно. Значит, определители этих проекций при всех t имеют одинаковый знак, а при t = 0 он положителен.

Можно сказать, что пары базисов со свойством б) одинаково пространственно ориентированы.

Наоборот, если два ортонормированных базиса в имеют одинаковую пространственную и временную ориентацию, то они одинаково ориентированы, т. е. переводят друг в друга непрерывной системой изометрий f_t. Чтобы построить ее, положим прежде всего . Из условия следует, что f_t(e₀) времениподобен и имеет квадрат длины единица при всех .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-