Прямые в , состоящие из векторов с отрицательным квадратом длины, не имеют физической интерпретации. Они должны были бы отвечать мировым линиям частиц, летящих быстрее света, - гипотетических "тахионов", не обнаруженных экспериментально.

Перейдем теперь к математическому изучению .

2. Реализация как пространства метрик. Как в разделе Самосопряженные операторы в квантовой механике, фиксируем двумерное комплексное пространство и рассмотрим на нем множество эрмитово симметричных скалярных произведений. Оно является вещественным линейным пространством. Если выбран базис {h₁, h₂ в , но матрицы Грама этих метрик будут всевозможными эрмитовыми -матрицами. Поставим в соответствие метрике определитель ее матрицы Грама G, который будем обозначать det l. Переход к базису приведет к замене G на , и det G' = | det V |²det G. В частности, если , то det G = det G'. Поэтому вычисление det l в любом из базисов , лежащих в одном классе относительно действия SL(2, C), приведет к одному и тому же результату. Впредь мы фиксируем такой класс базисов , и все det будем вычислять относительно него. Замена класса только умножает det на положительный скаляр.

3. Предложение. а) является четырехмерным вещественным пространством.

б) На имеется единственная симметричная метрика (l, m), для которой (l, l) = det l. Ее сигнатура равна (1, 3), так что представляет собой пространство Минковского.

Доказательство. а) Пространство эрмитовых -матриц имеет базис , где , - матрицы Паули. Поэтому dim = 4.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-