13. Евклидовы повороты и бусты. Пусть - два одинаково временно ориентированных времениподобных вектора длины единица, - ортогональные дополнения к ним. Имеется стандартное преобразование Лоренца из , переводящее e₀ в , которое в физической литературе называется бустом. При это - тождественное преобразование. При оно определяется так: рассмотрим плоскость . Она содержит e₀ и . Сигнатура метрики Минковского на ней равна (1, 1). Поэтому существует пара единичных пространственноподобных векторов , ортогональных к e₀ и соответственно. Буст оставляет на месте все векторы из и переводит e₀ в , e₁ в соответственно. Чтобы вычислить элементы матрицы перехода , заметим прежде всего, что , где v - скорость относительно удаления инерциальных наблюдателей, отвечающих e₀ и .

Далее, матрицы Грама {e₀, e₁ и суть , поэтому

Из первого уравнения, зная a, находим . Добавляя сюда условие, что определитель буста ad - bc равен единице, получаем d = a, c = b. Окончательно, матрица буста в базисе {e₀, e₁, e₂, e₃, где {e₂, e₃ - ортонормированный базис , имеет вид

или в терминах пространственно-временных координат

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-