Геометрия квадратичных форм и собственные значения самосопряженных операторов

1. Этот раздел посвящен изучению геометрии графиков квадратичных форм q на вещественном линейном пространстве, т. е. множеств вида x_n+1 = q(x₁, ..., x_n) в Rⁿ⁺¹, и описанию некоторых приложений. Одна из важнейших причин, по которой эти классические результаты вызывают живой интерес и в наши дни, состоит в том, что квадратичные формы дают следующее (после линейного) приближение к любой дважды дифференцируемой функции и потому являются ключом к пониманию геометрии "искривления" любой гладкой многомерной поверхности.

В разделах Теоремы классификации и Самосопряженные операторы уже были доказаны общие теоремы о классификации квадратичных форм с помощью любых линейных или только ортогональных преобразований, поэтому здесь мы начнем с прояснения их геометрических следствий. Будем считать, что мы работаем в евклидовом пространстве со стандартной метрикой . Забвение евклидовой структуры означает лишь введение более грубого отношения эквивалентности между графиками. План геометрического исследования состоит в том, чтобы разобраться с малыми размерностями, где форму графика можно представить себе наглядно, и затем посмотреть на маломерные сечения многомерных графиков в разных направлениях. Рекомендуется рисовать картинки, иллюстрирующие приведенный текст. Мы считаем ось x_n+1 направленной вверх, а пространство Rⁿ расположенным горизонтально.

2. Одномерный случай. График кривой в R имеет три основных формы: "чаша" (выпуклость вниз) при , "купол" (выпуклость вверх) при и горизонтальная прямая при . Относительно линейной классификации, допускающей произвольное изменение масштаба вдоль оси x₁, эти три случая исчерпывают все возможности: можно считать, что или 0.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-