Вычтя из f ее значение в нуле и линейную часть, получаем, что остаток квадратичен с точностью до членов более высокого порядка малости. Это вычитание означает, что мы рассматриваем отклонение графика f от касательной гиперплоскости к этому графику в нуле. Обозначив эту касательную плоскость через Rⁿ, обнаруживаем, что поведение f вблизи нуля определяется квадратичной формой с матрицей по крайней мере, когда эта форма невырождена, - иначе нужно учитывать члены более высокого порядка малости. (Например, график слева уходит вниз, а справа - вверх; графики квадратичных функций так себя не ведут. Двумерный график - это "обезъянье седло", в одном криволинейном секторе уходящее вниз - "для хвоста".)

Точка, в которой дифференциал обращается в нуль (т. е. для всех i = 1, ..., n), называется критической точкой функции f (в наших примерах это было начало координат). Она называется невырожденной, если в ней квадратичная форма невырождена. Предшествующее обсуждение можно резюмировать в одной фразе: вблизи невырожденной критической точки график функции расположен относительно касательной гиперплоскости, как график ее квадратичной части. После этого можно доказать, что малое изменение функции (вместе с ее первыми и вторыми производными) может лишь слегка сдвинуть положение невырожденной критической точки, но не меняет сигнатуры соответствующей квадратичной формы и потому общего поведения графика (в малом).

Можно также доказать, что вблизи невырожденной критической точки можно сделать такую гладкую и гладко обратимую (хотя, вообще говоря, нелинейную) замену координат y_i = y_i(x₁, ..., x_n), i = 1, ..., n, что в новых координатах f будет задаваться в точности квадратичной функцией:

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-