Базис и размерность

1. Определение.Семейство векторов {e₁, ..., e_n в линейном пространстве L называется (конечным) базисом L, если каждый вектор из L однозначно представляется в виде линейной комбинации . Коэффициенты a_i называются координатами вектора l относительно базиса {e_i.

2. Примеры. a) Векторы e_i = (0, ..., 1, ..., 0), , образуют базис . б) Если множество S конечно, функции образуют базис F(S). Оба эти утверждения проверены в пункте линейные пространства

Если в L выбран базис из n векторов и каждый вектор задается своими координатами в этом базисе, то сложение и умножение на скаляр выполняются покоординатно: . Поэтому выбор базиса равносилен отождествлению L с координатным векторным пространством. Вместо равенства иногда пишут l = , подразумевая под вектор-столбец

или вектор-строку (a₁, ..., a_n) = [a₁, ..., a_n]^t координат a₁, ..., a_n; в этих обозначениях явное указание базиса опущено.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-