Положим . Для любых имеем

Поскольку {e_i образуют базис в L, нулевой вектор имеет единственное представление в виде линейной комбинации {e_k. Поэтому условие равносильно системе однородных линейных уравнений относительно x_k:

Поскольку число неизвестных m больше числа уравнений n, эта система имеет ненулевое решение. Теорема доказана.

5. Замечания. а) Можно было бы рассматривать произвольные семейства векторов и называть такое семейство базисом, если любой вектор пространства однозначно представляется в виде конечной линейной комбинации элементов семейства. В этом смысле любое линейное пространство имеет базис, и у бесконечномерного пространства базис всегда бесконечен. Однако это понятие не слишком полезно. Как правило, бесконечномерные пространства снабжаются топологией, и определение базиса видоизменяется с учетом этой топологии и возможности определять некоторые бесконечные линейные комбинации.

б) В общих линейных пространствах базисные векторы по традиции нумеруются целыми числами от 1 до n (иногда от 0 до n), но это совершенно не обязательно. Базис в F(S) естественно нумеруется элементами множества . Можно также считать базис L просто подмножеством в L, элементы которого не снабжены никакими индексами. Нумерация, или, скорее, порядок элементов базиса, существенны при использовании матричного формализма. В других вопросах может оказаться важной другая структура на множестве индексов базиса. Например, если S - конечная группа, то важно, как индексы s базиса перемножаются внутри S, а случайная нумерация S целыми числами может только загромоздить обозначения.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-