19. Лемма Цорна. Пусть X - непустое частично упорядоченное множество, любая цепь в котором обладает верхней гранью в X. Тогда любая цепь обладает такой верхней гранью, которая является в то же время максимальным элементом в X.

Лемму Цорна можно выводить из других, более приемлемых интуитивно аксиом теории множеств, но логически она эквивалентна так называемой "аксиоме выбора", если остальные аксиомы приняты. Поэтому удобно причислять ее к числу основных аксиом, что часто и делается.

20. Пример применения леммы Цорна: существование базиса в бесконечномерных линейных пространствах. Пусть L - линейное пространство над полем . Обозначим через множество линейно независимых подмножеств векторов в L, упорядоченное отношением .

Иными словами, , если любая конечная линейная комбинация векторов из Y, равная нулю, имеет нулевые коэффициенты. Проверим условие леммы Цорна: если S - некоторая цепь в X, то у нее есть верхняя грань в X. Действительно, положим . Ясно, что для всякого ; кроме того, Z образует линейно независимое множество векторов, потому что любое конечное множество векторов {y₁, ..., y_n из Z содержится в некотором элементе . В самом деле, пусть ; так как S - цепь, из каждых двух элементов один является подмножеством другого; выкидывая по очереди меньшие множества из таких пар, мы получим, что среди Y_i есть наибольшее множество; в нем и содержатся все y₁, ..., y_n, которые, таким образом, линейно независимы.

Применим теперь заключение леммы Цорна. Здесь достаточна только часть его: существование в X максимального элемента. Согласно определению, это такое линейно независимое множество векторов , что если добавить к нему любой вектор , то множество уже не будет линейно независимым. Точно такое же рассуждение, как при доказательстве утверждения б) леммы п. 9, показывает тогда, что l есть (конечная) линейная комбинация элементов Y, т. е. Y образует базис в L.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-