17. Основной принцип работы с бесконечномерными пространствами: лемма Цорна, или трансфинитная индукция. Большинство теорем конечномерной линейной алгебры нетрудно доказать, опираясь на существование конечных базисов и теорему п. 12 о продолжении базисов: много примеров будет представлено далее. Но привычка к базисам затрудняет переход к функциональному анализу. Опишем теоретико-множественный принцип, который в очень многих случаях заменяет апелляцию к базисам.

Напомним. что частично упорядоченным множеством называется множество X вместе с бинарным отношением порядка на X, которое рефлексивно (), транзитивно (если , то ) и антисимметрично (если и , то x = y). Вполне может оказаться, что пара элементов не находится ни в отношении , ни в отношении . Если же для любой пары либо , либо , то множество называется линейно упорядоченным, или цепью.

Верхняя грань подмножества Y в частично упорядоченном множестве X - это любой элемент такой, что для всех . Верхняя грань подмножества может и не существовать: если X = R с обычным отношением , а Y = Z (целые числа), то верхней грани у Y нет.

Наибольшим элементом частично упорядоченного множества X называется элемент такой, что для всех , а максимальным - элемент , для которого из следует x = m. Наибольший элемент всегда максимален, но не наоборот.

18. Пример. Типичный пример упорядоченного множества X - это множество всех подмножеств множества S или некоторая его часть, упорядоченное отношение . Если S имеет больше двух элементов, то частично упорядочено, но не линейно упорядочено. Элемент максимальный, и даже наибольший в .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-