Пример 4. Пусть G - множество всех взаимно однозначных отображений множества M на себя. Образ элемента при отображении будем обозначать через as. Произведением st двух отображений s и t из G назовем отображение, полученное в результате последовательного выполнения данных отображений (сначала s, затем t), т. е. полагаем

a(st) = (as)t

для любого (Можно под произведением st понимать выполнение сначала t, а затем s. Тогда образ элемента a при отображении s удобнее обозначить через sa.) При таком определении операции умножения множество G является группой. В самом деле, закон ассоциативности I выполнен, так как если r, s, t - три любых элемента из G, то для любого a из M находим:

a[r(st)] = (ar)(st) = [(ar)s]t.

Но также

a[(rs)t] = [a(rs)]t = [(ar)s]t.

     Таким образом,

a[r(st)] = a[(rs)t]

для любого a из M. Это значит, что r(st) = (rs)t (оба отображения получаются в результате последовательного выполнения данных отображений r, s, t).

     Докажем выполнение в G закона обратимости II. Пусть s и t - любые отображения из G. Для взаимно однозначного отображения s существует также взаимно однозначное обратное отображение s ^-1. Именно, если as = b, то bs ^-1 = a. Очевидно, что ss ^-1 = s ^-1s = e, где e - тождественное отображение множества M на себя, и что ex = xe = x для любого отображения x из G. Предположим, что в G существует отображение u такое, что su = t. Умножая это равенство слева на s ^-1, получим:

s ^-1(su) = s ^-1t.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-