Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Группы, кольца и поля / Группа / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


     Следствия из законов обратимости. Заметим, что свойство II еще не означает наличия в G операций, обратных умножению, так как II утверждает лишь существование, но не единственность элементов c и d. Для доказательства единственности этих элементов введем понятия единицы и обратного элемента.

     Определение 4. Единицей группы G называется элемент e такой, что ea = ae = a для любого a из G. Обратным для элемента a из G называется элемент a -1 такой, что aa -1 = a -1a = e, где e - единица группы G.

     Теорема 1. В любой группе G существует единица e и притом только одна; для любого элемента a существует обратный элемент a -1 и притом только один; существующие по закону обратимости II решения уравнений ax = b и ya = b являются единственными для любых a и b из G.

     Доказательство. Пусть e - решение уравнения yb = b для некоторого b из G, т. е. eb = b. Для любого a уравнение bx = a имеет решение c, т. е. bc = a. Тогда

ea = e(bc) = (eb)c = bc = a.

Итак, ea = a для любого a из G. Так же доказывается существование в G элемента e' такого, что ae' = a для любого a из G.

     Тогда e = ee' = e'. Итак, e - единица группы G. Если e1 и e2 - две единицы, то e1 = e1e2 = e2, чем доказана единственность единицы e.

     Далее, по закону обратимости II существуют элементы b и c, для которых ba = e и ac = e. Тогда b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c, т. е. b = c.

     Итак, элемент a -1 = b обладает свойством aa -1 = a -1a = e, т. е. является обратным для a. Если b и c - два любых элемента, обратных для a, то, как выше, докажем, что b = bac = c, чем доказана единственность обратного элемента.

     Если c1 и c2 - любые решения уравнения ax = b, то ac1 = b и ac2 = b. Значит, ac1 = ac2. Умножая слева на a -1, найдем c1 = c2. Так же доказывается единственность решения уравнения ya = b. Теорема доказана.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-



© 2006- 2017  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, лемниската , математическое ожидание непрерывной случайной величины

     Группа, следствия из законов обратимости, единица группы.