Функции линейных операторов

1. В разделах Структура линейного отображения и Жорданова нормальная форма были определены операторы Q(f), где - линейный оператор, а Q - любой многочлен с коэффициентами из основного поля . Если = R или C, пространство L нормировано, а оператор f ограничен, то Q(f) с помощью предельного перехода.

Ограничимся рассмотрением голоморфных функций Q, задаваемых степенными рядами с ненулевым радиусом сходимости: . Положим , если этот ряд из операторов абсолютно сходится, т. е. если сходится ряд . (В случае , который в основном будет рассматриваться в данном разделе, , и пространство всех операторов конечномерно и банахово; см. утверждение б) теоремы п. 9)

2. Примеры. а) Пусть f - нильпотентный оператор. Тогда для достаточно больших i, и ряд Q(f) всегда абсолютно сходится. На самом деле он совпадает с одной из своих частичных сумм.

б) Пусть . Ряд абсолютно сходится и

Действительно,

и переход к пределу при дает требуемое. В частности, если , то оператор id - f обратим.

-1-2-3-4-