4. Следствие. Пусть - ограниченный оператор. Тогда отображение является гомоморфизмом группы R в подгруппу обратимых операторов по умножению.

Множество операторов называется однопараметрической подгруппой операторов.

5. Спектр. Пусть f - некоторый оператор в конечномерном пространстве, Q(t) - такой степенной ряд, что Q(f) абсолютно сходится. Нетрудно видеть, что если Q(t) - многочлен, то в жордановом базисе f матрица Q(f) является верхней треугольной, и на ее диагонали стоят числа , где - собственные значения f. Применив это соображение к частичным суммам Q и перейдя к пределу, получим, что это же верно для любого ряда Q(t). В частности, если S(f) - спектр f, то . Более того, если учитывать характеристические корни с их кратностью, то Q(S(f)) будет спектром Q(f) с правильными кратностями. В частности,

Переходя на язык матриц, отметим еще два простых свойства, которые доказываются таким же образом:

а) Q(A^t) = Q(A)^t;

б) , где черта означает комплексное сопряжение; здесь предполагается, что ряд Q имеет вещественные коэффициенты.

Пользуясь этими свойствами и обозначениями раздела Матрицы, докажем следующую теорему, относящуюся к теории классических групп Ли (здесь = R или C).

-1-2-3-4-