в) Назовем экспонентой ограниченного оператора f оператор

Так как (см. теорему п. 11) и числовой ряд для экспоненты равномерно сходится на любом ограниченном множестве, функция exp(f) определена для любого ограниченного оператора f и непрерывна по f.

Например, ряд Тейлора для значения можно формально записать в виде . Чтобы эта запись приобрела точный смысл, нужно выбрать пространство бесконечно дифференцируемых функций с нормой и проверить сходимость в индуцированной норме.

Частный случай: exp(a id) = e^a id (a - скаляр); exp(diag(a₁, ..., a_n)) = diag(exp a₁, ..., exp a_n).

Основное свойство числовой экспоненты: e^ae^b = e^a+b, вообще говоря, нарушается для экспоненты операторов. Однако есть важный частный случай, когда оно выполнено:

3. Теорема. Если операторы коммутируют, т. е. fg = gf, то (exp f)(exp g) = exp(f + g).

Доказательство. Применяя формулу бинома Ньютона и пользуясь возможностью переставлять члены абсолютно сходящегося ряда, получаем

Коммутативность f и g используется в том месте, где (f + g)^m разлагается по биному.

-1-2-3-4-