Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Неевклидовы геометрии / Возникновение неевклидовой геометрии Лобачевского / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


     Исследования Лежандра. Французский математик и педагог А. М. Лежандр является автором замечательного школьного учебника "Начала геометрии", вышедшего в свет первым изданием в 1794 году и переиздававшегося при жизни автора 14 раз. Лежандр весьма существенно менял свою книгу от издания к изданию. При этом больше всего его заботила теория параллельных. Во всех прижизненных изданиях "Начал геометрии", кроме 9, 10 и 11-го, Лежандр доказывал V постулат, меняя, однако, доказательства от издания к изданию. Объяснялось это тем, что каждый раз после выхода очередного издания Лежандр обнаруживал ошибку в опубликованном доказательстве (точнее, не ошибку, а неявное использование утверждения, эквивалентного V постулату). Безупречного доказательства V постулата Лежандр так и не получил (и, как будет ясно из сказанного ниже, не мог получить). Однако его исследования очень поучительны и, что самое главное, вскрывают глубокие связи между V постулатом и другими предложениями. Особенно важны три замечательные теоремы Лежандра о связи V постулата с теоремами о сумме углов треугольника. Рассмотрим их подробнее. Доказательства этих теорем проводятся без использования V постулата (или аксиомы о параллельных).

     Теорема 1. Во всяком треугольнике сумма внутренних углов не превосходит 180°.

     Доказательство. Предположим, что наша теорема неверна, т. е. что существует треугольник ABA1, сумма углов которого больше 180°. Продолжим сторону AA1 этого треугольника и построим на прямой AA1 ряд треугольников A1B1A2, A2B2A3, ..., An-1Bn-1An, AnBnAn+1, равных треугольнику ABA1; точки B и B1, B1 и B2, ..., Bn-1 и Bn соединим отрезками (см. Рис. 6; заметьте, мы не утверждаем, что отрезки BB1, B1B2, ..., Bn-1Bn составляют прямую линию, - доказать это, не опираясь на V постулат, невозможно).

Так как на рис. 6 , а , то ; таким образом, стороны A1B и A1B1 треугольника A1BB1 соответственно равны сторонам BA1 и BA треугольника ABA1, а заключенный между ними угол A1 меньше угла B. Отсюда вытекает, что AA1 > BB1 (заметим, что теорема о двух треугольниках, имеющих по две равные стороны, во всех учебниках геометрии доказывается до аксиомы параллельности и, следовательно, не зависит от V постулата).

     Но, очевидно, не только ΔABA1 = ΔA1B1A2 = ... = ΔAnBnAn+1, но и ΔBA1B1 = ΔB1A2B2 = ... = ΔBn-1AnBn. Поэтому, если положить AA1 - BB1 = a, то получим AAn - (BB1 + B1B2 + ... + Bn-1Bn) = na. Выбрав теперь число n настолько большим, что na > 2AB, мы найдем, что (AB + BB1 + B1B2 + ... + Bn-1Bn + BnAn) - AAn = AB + BnAn - na < 0, т. е. что отрезок AAn больше ломаной ABB1 ... BnAn, соединяющей его концы. Но последнее невозможно (причем невозможность эта устанавливается без обращения к аксиоме параллельности). Полученное противоречие и доказывает теорему.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-



© 2006- 2021  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, многочлены , каноническое уравнение эллипса

     Пятый постулат, исследования Лежандра. Теорема: во всяком треугольнике сумма внутренних углов не превосходит 180 градусов.