Исследования Лежандра. Французский математик и педагог А. М. Лежандр является автором замечательного школьного учебника "Начала геометрии", вышедшего в свет первым изданием в 1794 году и переиздававшегося при жизни автора 14 раз. Лежандр весьма существенно менял свою книгу от издания к изданию. При этом больше всего его заботила теория параллельных. Во всех прижизненных изданиях "Начал геометрии", кроме 9, 10 и 11-го, Лежандр доказывал V постулат, меняя, однако, доказательства от издания к изданию. Объяснялось это тем, что каждый раз после выхода очередного издания Лежандр обнаруживал ошибку в опубликованном доказательстве (точнее, не ошибку, а неявное использование утверждения, эквивалентного V постулату). Безупречного доказательства V постулата Лежандр так и не получил (и, как будет ясно из сказанного ниже, не мог получить). Однако его исследования очень поучительны и, что самое главное, вскрывают глубокие связи между V постулатом и другими предложениями. Особенно важны три замечательные теоремы Лежандра о связи V постулата с теоремами о сумме углов треугольника. Рассмотрим их подробнее. Доказательства этих теорем проводятся без использования V постулата (или аксиомы о параллельных).

     Теорема 1. Во всяком треугольнике сумма внутренних углов не превосходит 180°.

     Доказательство. Предположим, что наша теорема неверна, т. е. что существует треугольник ABA₁, сумма углов которого больше 180°. Продолжим сторону AA₁ этого треугольника и построим на прямой AA₁ ряд треугольников A₁B₁A₂, A₂B₂A₃, ..., A_n-1B_n-1A_n, A_nB_nA_n+1, равных треугольнику ABA₁; точки B и B₁, B₁ и B₂, ..., B_n-1 и B_n соединим отрезками (см. Рис. 6; заметьте, мы не утверждаем, что отрезки BB₁, B₁B₂, ..., B_n-1B_n составляют прямую линию, - доказать это, не опираясь на V постулат, невозможно).

Так как на рис. 6 , а , то ; таким образом, стороны A₁B и A₁B₁ треугольника A₁BB₁ соответственно равны сторонам BA₁ и BA треугольника ABA₁, а заключенный между ними угол A₁ меньше угла B. Отсюда вытекает, что AA₁ > BB₁ (заметим, что теорема о двух треугольниках, имеющих по две равные стороны, во всех учебниках геометрии доказывается до аксиомы параллельности и, следовательно, не зависит от V постулата).

     Но, очевидно, не только ΔABA₁ = ΔA₁B₁A₂ = ... = ΔA_nB_nA_n+1, но и ΔBA₁B₁ = ΔB₁A₂B₂ = ... = ΔB_n-1A_nB_n. Поэтому, если положить AA₁ - BB₁ = a, то получим AA_n - (BB₁ + B₁B₂ + ... + B_n-1B_n) = na. Выбрав теперь число n настолько большим, что na > 2AB, мы найдем, что (AB + BB₁ + B₁B₂ + ... + B_n-1B_n + B_nA_n) - AA_n = AB + B_nA_n - na < 0, т. е. что отрезок AA_n больше ломаной ABB₁ ... B_nA_n, соединяющей его концы. Но последнее невозможно (причем невозможность эта устанавливается без обращения к аксиоме параллельности). Полученное противоречие и доказывает теорему.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-