Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Неевклидовы геометрии / Возникновение неевклидовой геометрии Лобачевского / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


     В заключение приведем одно из доказательств V постулата, помещенных Лежандром в его книге "Начала геометрии". Для доказательства V постулата нужно лишь установить, что сумма углов треугольника не может быть меньше 180°: ведь тогда из теоремы 1 будет вытекать, что сумма углов треугольника в точности равна 180°, а потому, согласно теореме 3, будет справедлив V постулат. Доказательство проводится "от противного": пусть существует треугольник ABC, сумма углов которого меньше 180°, скажем, равна 180°- α (см. Рис. 13).

Построим на стороне BC вне треугольника ABC треугольник BCD, равный ABC, и проведем через точку D прямую, пересекающую стороны AB и AC угла BAC в точках M и N. В таком случае сумма углов треугольника BCD также равна 180°- α, а у треугольников BDM и CDN суммы углов не превосходят 180° (теорема 1). Поэтому сумма 12 углов четырех треугольников: ABC, BCD, BDM и CDN не превосходит 720°-2α. Но суммы трех углов при точках B, C и D равны 180°; поэтому сумма оставшихся трех углов при вершинах A, M и N не превосходит (720°-2α) - 540° = 180°- 2α. Таким образом, мы построили треугольник AMN, сумма углов которого не превосходит 180°-2α. Далее таким же способом строим треугольник, сумма углов которого не превосходит 180°- 4α, затем треугольник, сумма углов которого не превосходит 180°- 8α, и т. д. Но таким путем мы, в конце концов, придем к треугольнику с отрицательной суммой углов, - а такого треугольника явно не может быть! Полученное противоречие и доказывает, что сумма углов любого треугольника равна 180°, а значит (теорема 3), V постулат имеет место.

     Ошибочность этого доказательства состоит в том, что Лежандр, не оговаривая этого явно, пользуется следующим утверждением: через любую точку D, взятую внутри угла CAB, можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Но это предложение эквивалентно самому V постулату: его так же не удается доказать, исходя из остальных аксиом, как и V постулат.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-



© 2006- 2020  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, степень , квадратные уравнения

     Одно из доказательств пятого постулата (Лежандр), ошибочность доказательства.