Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Неевклидовы геометрии / Возникновение неевклидовой геометрии Лобачевского / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Надо доказать, что любая другая прямая MN, проходящая через точку A, пересекается с прямой DD'. Из двух лучей AM, AN выберем тот, который с отрезком AC составляет острый угол; пусть это будет луч AN и пусть (как на Рис. 10) точки B и N лежат по одну сторону от прямой AC (в противном случае можно было бы поменять обозначения точек B и B'). Угол обозначим через α.

     Если мы установим существование луча AP, составляющего с лучом AB угол, меньший чем α, и пересекающего прямую DD', то станет ясно, что и луч AN должен пересечь прямую DD' (см. Рис. 11). Существование требуемого луча AP Лежандр устанавливает следующим образом.

     Отложим на луче CD отрезок CP1 = CA (см. Рис. 12). Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике ACP1 каждый из углов равен (ведь, по предположению, сумма углов треугольника равна 180°!). Отложим теперь на прямой CD отрезок P1P2 = P1A. Тогда в равнобедренном треугольнике AP1P2 каждый из углов , как легко подсчитать, равен . Затем построим точку P3 прямой CD (так, чтобы было AP2 = P2P3) и т. д. В результате получим лучи AP1AP2AP3, ..., каждый из которых пересекает прямую CD. При этом Ясно, что после конечного числа шагов получим такой луч APn (пересекающий прямую DD'), для которого . Этим и завершается доказательство теоремы.

     Как известно, из V постулата (или из аксиомы параллельности) вытекает, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Таким образом, теорема 3 показывает, что утверждение "сумма углов треугольника равна 180°" эквивалентно V постулату (эта эквивалентность имеет место только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида).


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-



© 2006- 2021  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, прогрессии , квадратичное среднее

     Сумма углов треугольника равна 180 градусов.