Ни Лобачевский, ни Гаусс, ни Бойяи не дали строгого логического доказательства непротиворечивости изученной ими геометрии; такое доказательство впервые было получено итальянским геометром Эудженио Бельтрами (1868 г.) и немецким математиком Феликсом Клейном (1870 г.). Эти доказательства сводились к построению, в рамках евклидовой геометрии, "моделей" неевклидовой геометрии Лобачевского, т. е. такой системы объектов, для которой выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского. Ниже укажем, как строится такая модель.

     Заметим еще, что некоторые попытки доказательства V постулата не использовали метода доказательства от противного. Их авторы систематически развивали геометрическую теорию, базирующуюся на всех аксиомах евклидовой геометрии, кроме V постулата, пытаясь получить на таком пути доказательство V постулата. При этом были намечены контуры аксиоматической системы, базирующейся на части полного списка аксиом евклидовой геометрии - на всех ее аксиомах за вычетом аксиомы параллельности. Особенно глубоко изучил эту систему Янош Бойяи, давший ей название "абсолютная геометрия". Утверждение о непротиворечивости неевклидовой геометрии Лобачевского можно формулировать в виде заключения о независимости аксиомы параллельности от остальных аксиом евклидовой геометрии или в виде заключения о том, что аксиоматика абсолютной геометрии не является полной. Начатки абсолютной геометрии имеются уже у Евклида, пытавшегося возможно далее не использовать V постулата. В качестве типичной теоремы абсолютной геометрии можно упомянуть следующую: внешний угол треугольника меньше не смежного с ним внутреннего угла^*. К абсолютной геометрии относится, например, и теорема 1 Лежандра, утверждающая, что сумма углов треугольника не может быть больше 180°.

^*   (см.) Ясно, что если сумма внутренних односторонних углов BAC и DCA, образованных прямыми AB и CD с секущей AC, больше или равна 180°, то лучи AB и CD не могут пересечься: ведь если бы они пересеклись в точке P, то внешний угол треугольника ACP при вершине A был бы меньше не смежного с ним внутреннего угла ACP, а еще Евклид доказал, что во всяком треугольнике внешний угол больше внутреннего, с ним не смежного, - причем доказал это, не опираясь на V постулат!

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-