Особая роль V постулата, его большая сложность и меньшая наглядность (по сравнению с другими аксиомами) привели к тому, что математики позднейших веков стали пытаться доказать этот постулат как теорему. Некоторые из них старались вывести этот постулат из остальных аксиом Евклида, не добавляя к ним новых утверждений; другие же открыто заменяли V постулат иной аксиомой, которую они считали более простой и наглядной. Разумеется, новая аксиома содержала утверждение, равносильное V постулату. Но и анализ тех доказательств, в которых V постулат не заменялся другой аксиомой открыто, показывает, что здесь также использовались утверждения, равносильные V постулату, однако это делалось неявно, незаметно для автора доказательства.

     Приведем несколько примеров аксиом, содержащих утверждения, равносильные V постулату. Римский математик 1 века до н. э. Посидоний, византийский или армянский математик V - VI веков Аганис, багдадский математик IX века Сабит ибн Корра и каирский математик X - XI веков Хасан ибн ал-Хайсам доказывали V постулат на основании утверждения: "геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой и находящихся по одну сторону от нее, есть прямая". Греческий математик V века Прокл Диадох доказывал V постулат, опираясь на следующее допущение: "расстояние между двумя перпендикулярами к одной прямой ограничено". Греческий математик VI века Симпликий, багдадский математик IX века Аббас ал-Джаухари, среднеазиатский математик XIII века Шамс ад-Дин ас-Самарканди и французский математик XVIII-XIX веков Адриан Мари Лежандр доказывали V постулат при помощи допущения: "через точку внутри угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны". Среднеазиатский математик XI века Омар Хайям (известный также как поэт) заменял V постулат аксиомой: "две приближающиеся прямые обязательно пересекутся". Английский математик XVII века Джон Валлис заменял V постулат аксиомой: "для всякой фигуры можно построить подобную ей фигуру любых размеров". Французский математик XVIII века Алексис-Клод Клеро строил теорию параллельных линий на основании допущения: "существует хотя бы один прямоугольник". Английский педагог XVIII века Джон Плейфер заменял V постулат аксиомой: "через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данной". Венгерский математик XVIII - XIX веков Фаркаш Бойяи доказывал V постулат при помощи допущения: "через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность".

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-