Очевидно, ядро формы g совпадает с ядром линейного отображения

(или )

и потому является линейным подпространством в L. Поэтому задание невырожденной формы g можно заменить заданием изоморфизма (или ). Так как матрицей служит транспонированная матрица Грама G^t базиса L, невырожденность g равносильна невырожденности матрицы Грама (любого базиса). В тензорной алгебре и ее приложениях к дифференциальной геометрии и физике очень широко используется то обстоятельство, что невырожденная ортогональная форма g определяет изоморфизм : оно служит основой техники "поднятия и опускания индексов".

Ранг g определяется как размерность образа , или как ранг матрицы Грама G.

6. Задача классификации. Пусть (L₁, g₁), (L₂, g₂) - два линейных пространства со скалярными произведениями над полем . Назовем их изометрией любой линейный изоморфизм , который сохраняет значения всех скалярных произведений, т. е.

g₁(l, l') = g₂(f(l), f(l')) для всех .

Назовем такие пространства изометричными, если между ними существует изометрия. Очевидно, тождественное отображение является изометрией, композиция изометрий есть изометрия и линейное отображение, обратное к изометрии, есть изометрия. В следующем параграфе мы решим задачу классификации пространств с точностью до изометрии, а затем изучим группы изометрий пространства с самим собой и покажем, что среди них содержатся классические группы, описанные в разделе Матрицы.

Классическое решение задачи классификации состоит в том, что всякое пространство со скалярным произведением разлагается в прямую сумму попарно ортогональных подпространств малой размерности (один в ортогональном и эрмитовом случае, один или два - в симплектическом). Поэтому мы закончим этот параграф непосредственным описанием таких маломерных пространств с метрикой.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-