Общие полилинейные отображения будут рассмотрены в разделе, посвященном тензорной алгебре. В данном разделе займемся важнейшим для приложений классом билинейных функций , а также, при = C, функций , где - пространство, комплексно сопряженное с L (см. Комплексификация и овеществление). Каждая такая функция называется также скалярным произведением или метрикой, на пространстве L, и пара (L, скалярное произведение) рассматривается как единый геометрический объект. Изучаемые в этом разделе метрики лишь в специальных случаях являются метриками в смысле определения п. 1.

Скалярное произведение чаще всего рассматривают как полуторалинейное отображение , линейное по первому агрументу и полулинейное по второму: .

2. Способы задания скалярного произведения. а) Пусть (или ) - некоторое скалярное произведение на конечномерном пространстве L. Выберем базис {e₁, ..., e_n в L и определим матрицу

G = (g(e_i, e_j)); i, j = 1, ..., n.

Она называется матрицей Грама базиса {e₁, ..., e_n относительно g, а также матрицей g в базисе {e₁, ..., e_n. Задание {e_i и G вполне определяет g, потому что в силу свойства билинейности

В случае полуторалинейной формы аналогичная формула приобретает вид

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-