Действительно, если задано матрицей G^t, то соответствующее скалярное произведение g в двойственных базисах имеет вид

или

или или

что доказывает требуемое. Здесь мы пользовались замечанием, сделанным в параграфе Двойственность, о том, что каноническое отображение в двойственных базисах определяется формулой .

3. Свойства симметрии скалярных произведений. Перестановка аргументов в билинейном скалярном произведении g определяет новое скалярное произведение g^t:

g^t(l, m) = g(m, l).

В полуторалинейном случае эта операция также меняет места "линейного" и "полулинейного" аргументов; если мы хотим, чтобы этого не произошло, то удобнее рассматривать :

У линейный аргумент будет на первом месте, если у g он был на первом месте, а полулинейный - соответственно на втором. Операция или легко описывается на языке матриц Грама: она отвечает операции или соответственно (предполагается, что пишутся в одном и том же базисе L).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-