На групповом языке это определяет прямое разложение и изоморфизм . Таким образом, невырожденные полуторалинейные формы классифицируются комплексными числами, по модулю равными единице. Однако мы еще не полностью учли свойства эрмитовости, которое означает, что , т. е. что значения g(l, l) все вещественны. Поэтому эрмитовым формам отвечают только числа в , как и в ортогональном случае над R. Окончательный ответ:

Над C любое одномерное эрмитово пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из трех скалярных произведений: .

Одномерные ортогональные пространства R (или эрмитовы над C) со скалярными произведениями xy, -xy, 0 (или ) в подходящем базисе мы будем называть соответственно положительными, отрицательными и нулевыми. Скалярные произведения ненулевых векторов на себя в них принимают соответственно только положительные, только отрицательные или только нулевые значения.

9. Одномерные симплектические пространства. Здесь мы встречаемся с новой ситуацией: любая антисимметричная форма на одномерном пространстве над полем характеристики тождественно равна нулю, в частности, вырождена! Действительно,

Что касается характеристики 2, то условие антисимметрии g(l, m) = - g(m, l) в этом случае равносильно условию симметрии g(l, m) = g(m, l), так что над такими полями симплектическая геометрия не отличается от ортогональной. Впрочем, у ортогональной геометрии также появляются свои особенности, и мы обычно будем этот случай исключать из рассмотрения.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-