7. Одномерные ортогональные пространства. Пусть dim L = 1, g - ортогональное скалярное произведение на L. Возьмем любой ненулевой вектор . Если g(l, l) = 0, то , так что g вырожденное и нулевое. Если , то для любого значение g(xl, xl) равно ax², так что все значения g(l, l) на ненулевых векторах в L составляют в мультипликативной группе поля смежный класс по подгруппе, состоящей из квадратов: . Этот смежный класс полностью характеризует невырожденное симметричное скалярное произведение на одномерном пространстве L: для (L₁, g₁) и (L₂, g₂) два таких класса совпадают тогда и только тогда, когда эти пространства изометричны. В самом деле, если g₁(l₁, l₁) = ax², g₂(l₂, l₂) = ay², где , то отображение f: l₁ - y ^-1xl₂ определяет изометрию L₁ с L₂, что доказывает достаточность. Необходимость очевидна.

Так как R^*/(R^*)² = и C^* = (C^*)², получаем следующие важные частные случаи классификации.

Над R любое одномерное ортогональное пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из трех скалярных произведений: xy, - xy, 0.

Над C любое одномерное ортогональное пространство изометрично одномерному координатному пространству с одним из двух скалярных произведений: xy, 0.

8. Одномерные эрмитовы пространства. Здесь рассуждения аналогичны. Основное поле равно C; вырожденность формы равносильна ее обращению в нуль. Если же форма невырождена, то множество значений g(l, l) для ненулевых векторов есть смежный класс подгруппы в группе C^*, т. к. , и пробегает все значения в , когда . Но каждое ненулевое комплексное число z однозначно представляется в виде , где , а лежит на единичной комплексной окружности, которую мы обозначим

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-