Доказательство. Поскольку форма [ , ] невырождена, она определяет изоморфизм , при котором вектору ставится в соответствие линейный функционал . Отсюда следует, что для любого подпространства имеем . Если к тому же L₁ изотропно, то , откуда , так что .

Рассмотрим теперь ограничение формы [ , ] на . Во всем пространстве L ортогональное дополнение к имеет размерность по предыдущему рассуждению. С другой стороны, L₁ лежит в этом ортогональном дополнении и потому совпадает с ним. Значит, L₁ есть в точности ядро ограничения [ , ] на . Но в имеется симплектический базис в том его варианте, который рассматривался в разделе Теоремы классификации, где допускались вырожденные пространства:

с матрицей Грама

Размер единичной клетки есть . Векторы порождают ядро формы на , т. е. L₁; добавив к ним, например, , получим r-мерное изотропное подпространство, содержащее L₁.

3. Предложение. Пусть L - симплектическое пространство размерности 2r, - изотропное подпространство размерности r. Тогда существует другое изотропное подпространство размерности r такое, что , и скалярное произведение индуцирует изоморфизм .

-1-2-3-4-5-6-7-8-