откуда det A = (det B)². Итак, определитель каждой кососимметрической матрицы является точным квадратом. Это наводит на мысль попытаться извлечь из определителя квадратный корень, который был бы универсальным многочленом от элементов A. Это действительно возможно.

9. Теорема. Существует единственный многочлен с целыми коэффициентами Pf A от элементов кососимметрической матрицы A такой, что det A = (Pf A)² и . Этот многочлен называется пфаффианом и обладает следующим свойством:

для любой матрицы B. (В случае коэффициенты Pf "целы" в том смысле, что лежат в простом подполе поля , т. е. являются суммами единиц.)

Доказательство. Рассмотрим r(2r - 1) независимых переменных над полем . Обозначим через K поле рациональных функций (отношений многочленов) от a_ij с коэффициентами из простого подполя поля . Положим A = (a_ij), где a_ij = -a_ji при i > j, a_ii = 0, и введем на координатном пространстве K^2r невырожденное кососимметрическое скалярное произведение . Перейдя к симплектическому базису с помощью некоторой матрицы B, получим, как выше, det A = (det B)². Априори det B является лишь рациональной функцией от a_ij с коэффициентами из Q или простого поля конечной характеристики. Но так как det A - многочлен с целыми коэффициентами, квадратный корень из него также должен иметь целые коэффициенты (здесь мы пользуемся теоремой об однозначном разложении на множители в кольце многочленов Z[a_ij] или F_p[a_ij]). Знак , очевидно, однозначно фиксируется требованием, чтобы значение было равно единице.

-1-2-3-4-5-6-7-8-