Последнее равенство из формулировки теоремы устанавливается так. Прежде всего, B^tAB кососимметрична вместе с A, так что

Pf²(B^tAB) = det(B^tAB) = (det B)²det A = (det B)²Pf²A.

Поэтому

Чтобы установить знак, достаточно выяснить его в случае A = I_2r, B = E_2r, где он, очевидно, положителен.

10. Примеры.

11. Следствие. Определитель любой симплектической матрицы равен единице.

Доказательство. Из условия A^tI_2rA = I_2r и теоремы п. 9 следует

1 = Pf I_2r = Pf(A^tI_2rA) = det A Pf I_2r,

что доказывает требуемое.

-1-2-3-4-5-6-7-8-