в) Собственные векторы ортогонального или унитарного оператора, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. а) Достаточность утверждения очевидна: если , то , так что U - матрица унитарного оператора. Наоборот, пусть f - унитарный оператор, - его собственное значение, - соответствующее собственное подпространство. По предложению п. 2 имеем . Подпространство одномерно, f-инвариантно, и ограничение f на является одномерным унитарным оператором, поэтому , т. е. . Если мы покажем, что подпространство также f-инвариантно, то индукцией по dim L отсюда можно будет вывести, что L разлагается в прямую сумму f-инвариантных попарно ортогональных одномерных подпространств, что докажет требуемое.

В самом деле, если и (l₀, l) = 0, то

так что .

б) В ортогональном случае рассуждения аналогичны: непосредственно проверяется достаточность условия и затем проводится индукция по dim L. Случаи dim L = 1, 2 разобраны в предыдущем пункте. Если и f имеет вещественное собственное значение , нужно снова положить и рассуждать, как выше (заметим, что здесь обязательно ). Наконец, если f не имеет вещественных собственных значений, то следует выбрать двумерное f-инвариантное подпространство , которое существует по предположению п. 16. На нем матрица органичения f в любом ортонормированном базисе будет иметь вид в силу предыдущего пункта.

-1-2-3-4-5-6-7-