Далее, если , то UU^t = E_n, откуда (det U)² = 1 и . Если - ортогональная матрица с определителем -1, то - ортогональная матрица с определителем 1, принадлежащая SO(2). Матрицы из SO(2) имеют вид

Очевидно, любую такую матрицу можно представить в виде

т. е. она задает евклидов поворот на угол . Отображение

является изоморфизмом. Его геометрический смысл объясняется следующим замечанием: овеществление одномерного унитарного пространства есть двумерное евклидово пространство , а овеществление унитарного преобразования задается матрицей поворота на угол .

В разделе Самосопряженные операторы в квантовой механике построим значительно менее тривиальный эпиморфизм с ядром .

Повороты на угол не имеют собственных векторов в R² и потому не диагонализируемы. Наоборот, все матрицы с det U = -1 диагонализируемы.

-1-2-3-4-5-6-7-