Поэтому остается проверить, что подпространство также f-инвариантно. Действительно, если (l₀, l) = 0 для всех , то

(l₀, f(l)) = (f(f ^-1(l₀)), f(l)) = (f ^-1(l₀), l) = 0,

т. к. для всех . Это завершает доказательство.

в) Пусть . Тогда

Так как , при имеем . Следовательно, (l₁, l₂) = 0. Это рассуждение применимо одновременно к унитарному и ортогональному случаю. Доказательство окончено.

5. Следствие ("теорема Эйлера"). В трехмерном евклидовом пространстве любое ортогональное отображение f, не меняющее ориентацию (т. е. элемент группы SO(3)), является вращением относительно некоторой оси.

Доказательство. Так как характеристический многочлен f имеет степень 3, у него обязательно есть вещественный корень. Если он единственный, то он должен быть равен 1, т. к. det f = 1. Если есть больше одного вещественного корня, то все корни вещественные, и возможны комбинации (1, 1, 1) или (1, -1, -1). В любом случае собственное значение 1 имеется. Соответствующее собственное подпространство является осью вращения, а в ортогональной к нему плоскости индуцируется элемент SO(2), т. е. вращение на некоторый угол.

-1-2-3-4-5-6-7-