Позже будет видно, что коэффициенты a_i особенно просто находятся в случае, когда {f_i образуют ортогональную или ортонормированную систему относительно скалярного произведения g. В данном разделе ограничимся явным описанием нескольких важных ортогональных систем.

6. Тригонометрические многочлены. Здесь G = 1, . Тригонометрическими многочленами (или многочленами Фурье) называются конечные линейные комбинации функций cos nx, sin nx или конечные линейные комбинации функций . Обычно первые применяются в теории вещественнозначных функций, а вторые - комплекснозначных. Поскольку e^inx = cos nx + i sin nx, над C оба пространства многочленов Фурье совпадают. Над R используется билинейная метрика, над C - полуторалинейная. Функции и линейно независимы (как над R, так и над C). Кроме того, они образуют ортогональную систему, как следует из леко проверяемых формул:

Системы

и

поэтому ортонормированы.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-