5. Билинейные формы на пространствах функций. Рассмотрим функции f₁, f₂, заданные на отрезке (a, b) вещественной прямой (возможно, ) и принимающие вещественные или комплексные значения. Пусть G(x) - фиксированная функция от . Билинейные формы на пространствах функций в анализе часто задаются выражениями типа

или (полуторалинейный случай)

Разумеется, G, f₁ и f₂ должны удовлетворять каким-то условиям интегрируемости; в последующих примерах они будут выполнены автоматически.

Функция G называется весом формы g. Значение

или

есть взвешенное квадратичное среднее функции f (с весом G); если , его можно рассматривать как некоторую интегральную меру уклонения f от нуля. Типичная задача аппроксимации функции f линейными комбинациями некоторого заданного набора функций f₁, ..., f_n, ... состоит в поиске таких коэффициентов a₁, ..., a_n, ..., которые при данном n минимизируют взвешенное среднее квадратичное функции

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-