2. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. Он весьма близок к описанному в предыдущем пункте, но формулируется в более геометрических терминах. Будем рассматривать одновременно ортогональный и эрмитов случай.

Исходными данными являются: пространство (L, g) с ортогональной или эрмитовой метрикой, заданной в базисе . Пусть L_i - подпространство, натянутое на , i = 1, ..., n. Процесс ортогонализации, примененный к базису , можно рассматривать как конструктивное доказательство следующего результата:

3. Предложение. Предположим, что в описанных обозначениях все подпространства L₁, ..., L_n невырождены. Тогда существует такой ортогональный базис {e₁, ..., e_n} пространства L, что линейная оболочка {e₁, ..., e_i} совпадает с L_i для всех i = 1, ..., n. Он называется результатом ортогонализации исходного базиса . Каждый вектор e_i определен однозначно с точностью до умножения на ненулевой скаляр.

Доказательство. Построим e_i индукцией по i. В качестве e₁ можно взять . Если e₁, ..., e_i-1 уже построены, будем искать e_i в виде

Так как порождают L_i, а и {e₁, ..., e_i-1} порождают L_i-1, любой такой вектор e_i вместе с e₁, ..., e_i-1 будет порождать L_i. Поэтому достаточно добиться того, чтобы ei был ортогонален к e₁, ..., e_i-1, или, что тоже самое, к . Эти условия означают, что , k = 1, ..., i - 1, или

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-