Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Формулы / Группы, кольца и поля / Расположенные кольца и поля / 1 2 3 4 5 6 7 8 9


     Из теоремы 2 вытекают обычные для чисел правила действий с неравенствами. А именно:

     Теорема 4. Из a > b и c > d следует a + c > b + d и, если все элементы a, b, c, d положительны, то ac > bd, если же все они отрицательны, то ac < bd. Верна также теорема, получающаяся из данной, если знаки > и < поменять местами.

     Доказательство. По теореме 2 из a > b следует a + c > b + c, из c > d следует b + c > b + d, откуда a + c > b + d. Точно так же доказывается, что при положительных a, b, c, d будет ac > bd. Пусть a, b, c, d отрицательны. Тогда из a > b следует ac < bc и из c > d следует bc < bd, откуда ac < bd.

     Как следствие из теоремы 3 получаем:

     Теорема 5. Расположенное кольцо не имеет делителей нуля (см. определение 2).

     Доказательство. Пусть ab = 0. Тогда ab = a · 0 по теореме 3 при a ≠ 0, т. е. a > 0 или a < 0, должно быть b = 0.

     Теорема 6. Характеристика расположенного поля P равна нулю.

     Доказательство. Пусть a ≠ 0, . Если a > 0, то по свойству X для любого натурального n также na > 0, а так как (-n)a = -na, то na ≠ 0 при любом целом n. Если a < 0, то -a > 0 и n(-a) ≠ 0, при любом целом n. Значит, na ≠ 0, если a ≠ 0 и n ≠ 0.

     Теорема 7. Сумма квадратов (и, в частности, всякий квадрат) конечного числа элементов расположенного кольца больше или равна нулю, причем равенство может иметь место лишь в том случае, когда все данные элементы равны нулю.

     Доказательство. Для одного элемента, если a1 = 0, то . Если же a1 ≠ 0, то или a1 > 0, или -a1 > 0 и тогда

Для n = 1 теорема верна. Пусть она верна для n элементов. Тогда

как сумма неотрицательных слагаемых (см. свойство X). Если одно из двух слагаемых > 0, то и сумма их > 0. Значит, в случае равенства нулю оба слагаемых равны нулю, т. е.

и .

     Отсюда по доказанному an+1 = 0 и по предположению индукции a1 = a2 = ... = an = 0.


-1-2-3-4-5-6-7-8-9-



© 2006- 2019  ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, тензоры , алгоритм деления с остатком

     Расположенные кольца и поля, теоремы.